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线性代数题的计算法则

来源:www.wenkongkeji.com 时间:2024-06-07 15:44:38 作者:长短计算网 浏览: [手机版]

  线性代数是数学的一个分支,研究向空间、线性变换、矩阵等概念和性质原文www.wenkongkeji.com。在数学、物理、工程、计算机科学等领都有广泛的应用。在学习线性代数时,掌握计算法则是非常重要的。本文将绍线性代数题的计算法则。

的加减法

  向的加减法是线性代数本的操作。假设有两个向 $a$ 和 $b$,它们的维度相同,即都有 $n$ 个分。则向的加减法规则如下:

$$

  a+b=\begin{pmatrix}

a_1+b_1 \\

  a_2+b_2 \\

\vdots \\

a_n+b_n \\

  \end{pmatrix}

  $$

  $$

  a-b=\begin{pmatrix}

  a_1-b_1 \\

  a_2-b_2 \\

  \vdots \\

a_n-b_n \\

  \end{pmatrix}

$$

线性代数题的计算法则(1)

  向的加减法满**换律和结合律,即 $a+b=b+a$,$(a+b)+c=a+(b+c)$。同时,向的加法还满足加法逆元,即对于任意向 $a$,存在一个向 $-a$,使得 $a+(-a)=0$长.短.计.算.网

的数

  向的数叫点积,是向运算的一种。假设有两个向 $a$ 和 $b$,它们的维度相同,即都有 $n$ 个分。则向的数积定义为:

  $$

  a \cdot b=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n

$$

的数积满**换律和分配律,即 $a \cdot b=b \cdot a$,$(a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c$。同时,如果两个向的数积为 $0$,则称两个向直或正交。

的向

  向的向叫叉积,是向运算的一种。假设有两个三维向 $a=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ 和 $b=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$。则向的向积定义为:

  $$

  a \times b=\begin{pmatrix}

a_2b_3-a_3b_2 \\

  a_3b_1-a_1b_3 \\

  a_1b_2-a_2b_1 \\

  \end{pmatrix}

  $$

的向积满足反交换律,即 $a \times b=-b \times a$长 短 计 算 网。同时,向的向积还满足分配律和结合律,即 $a \times (b+c)=a \times b+a \times c$,$(a \times b) \times c=a(b \cdot c)-b(a \cdot c)$。

矩阵的加减法

  矩阵的加减法是指两个矩阵之间的加减运算。假设有两个 $m \times n$ 的矩阵 $A=(a_{ij})$ 和 $B=(b_{ij})$。则矩阵的加减法规则如下:

  $$

  A+B=\begin{pmatrix}

  a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\

  a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\

  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

  a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\

  \end{pmatrix}

  $$

$$

  A-B=\begin{pmatrix}

  a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \cdots & a_{1n}-b_{1n} \\

  a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \cdots & a_{2n}-b_{2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

  a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \cdots & a_{mn}-b_{mn} \\

  \end{pmatrix}

  $$

  矩阵的加减法满**换律和结合律,即 $A+B=B+A$,$(A+B)+C=A+(B+C)$。同时,矩阵的加法还满足加法逆元,即对于任意矩阵 $A$,存在一个矩阵 $-A$,使得 $A+(-A)=0$。

  矩阵的乘法

矩阵的乘法是指两个矩阵之间的乘法运算。假设有两个矩阵 $A$ 和 $B$,它们的维度分别为 $m \times n$ 和 $n \times p$来自www.wenkongkeji.com。则矩阵的乘法规则如下:

$$

  C=AB

  $$

  其,$C$ 的维度为 $m \times p$,且 $c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$。

矩阵的乘法不满**换律,即 $AB \neq BA$。但是满足结合律,即 $A(BC)=(AB)C$。同时,矩阵的乘法还满足分配律,即 $A(B+C)=AB+AC$ 和 $(A+B)C=AC+BC$。

  矩阵的转

  矩阵的转是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。假设有一个 $m \times n$ 的矩阵 $A=(a_{ij})$。则矩阵的转定义为 $A^T=(b_{ij})$,其 $b_{ij}=a_{ji}$长+短+计+算+网

  矩阵的转满足以下性质:

- $(A^T)^T=A$

  - $(A+B)^T=A^T+B^T$

- $(kA)^T=kA^T$

  - $(AB)^T=B^TA^T$

矩阵的逆

  矩阵的逆是指满足 $AB=BA=I$ 的矩阵 $B$,其 $I$ 是单位矩阵。如果矩阵 $A$ 存在逆矩阵,则称矩阵 $A$ 可逆,叫非奇异矩阵。如果矩阵 $A$ 不存在逆矩阵,则称矩阵 $A$ 不可逆,叫奇异矩阵。

  矩阵的逆满足以下性质:

  - $(A^{-1})^{-1}=A$

  - $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$

- $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

  总结

  本文绍了线性代数题的计算法则,包括向的加减法、数积、向积,矩阵的加减法、乘法、转和逆等内容。些计算法则是线性代数本的操作,掌握它们对于学习和应用线性代数都非常重要。

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